MEF Método de elementos finitos

El cambio en el diseño es un mundo de cambios en casi todos los campos profesionales. Pero en ninguna parte el cambio ha sido más acusado que en diseño y la manufactura de industria productivas. Los tableros de dibujos fueron reemplazados por estaciones de CAD. Las Calculadoras, que eliminaron la regla de cálculo, están siendo sustituidas ahora por los notebook. Es el software que controla estas computadoras el que está obligado a los ingenieros a meditar sobre su metodología a la hora de afrontar y resolver problemas.

El proceso de diseño va de un lado a otro con el CAD y el análisis, y es entonces, más adelante, cuando se orienta al ciclo de fabricación. A menudo muchas de las metodologías y herramientas CAD se comparte con el análisis.

¿COMO DISEÑAR?

1.1. Experiencia
¿Pueden ser experiencia e intuición suficientes?. Sí. Un porcentaje muy alto de proyectos hoy en día se hacen de este modo. Por ejemplo el espesor de un radier de 2do piso en una casa es de 10 cm y esto nos resuelve el problemas y esto no requiere de un computador.

1.2. Tablas y catálogos
El siguiente paso lo constituyen los libros de fórmulas y gráficas. Los mejores de estos libros (por ejemplo, las fórmulas para cálculos de esfuerzos de Roark, el manual de Mark, los factores de concentración de tensiones de Peterson, o las estructuras de aeronáutica de Bralin, por citar unos cuantos), compilan el trabajo de los expertos que trabajaron sin descanso para extraer y reunir las soluciones de una amplia gama de problemas. El diseño y análisis de un agujero en una viga, presenta la complejidad aproximada del problema que puede llegar a ser resuelto con esta, fórmulas. En cuanto el diseño es ligeramente más complicado, ya no hay formulas que lo resuelvan, ejemplo
a) Una viga H 200 empotrada en la pared. Los prontuarios y el curso de Resistencia de material, resuelven este problema.
b) Las misma viga pero con una perforación. Factores de concentración y un curso de Resistencia de materiales resuelven este problemas.
c) La misma viga H pero con 4 perforaciones de diferente diámetro y con variación de la altura del Alma (Viga curva).

¡ NO HAY FORMULAS O GRAFICAS PARA RESOLVER ESTE PROBLEMA !

1.3. Ecuaciones Diferenciales en derivadas parciales de 3D
La esquiva solución exacta, cuyos conocimientos solo se enseña a los master y doctorados en Ingeniería y Matemáticas.
La solución a las PDQ (partial differential equations) es “exacta”, y ése es el motivo por el que son tan embarazosas. Porque, en efecto, hallar la solución completa de un sistema de PDQ es casi desesperante, a pesar de lo que les hagan creer a los estudiantes veteranos o novatos. Tomemos solamente la combinación correcta de geometría usualmente en extremo simple, y condiciones de contorno (normalmente no lo que se requiere) para resolver las PDQ’s. Si podemos simplificar nuestro problema a una dimensión, podremos reducir el planteamiento a una ecuación diferencial ordinaria (differential equation, DQ). Casi siempre hay solución para las DQ’s.
Desgraciadamente, la simplificación requiere esencialmente “redefinir” el problema ha algo que no deseamos. La denominación común más normal de simplificación da lugar a ecuáciones de cálculo algebraicas, del tipo de las que encontramos en los libros de estudiantes de ingeniería.
Son estupendas para adquirir un barniz sobre la materia, pero casi inútiles para resolver problemas reales de cálculo en la industria

1.3. Métodos numéricos

Los matemáticos tienden a despreciar los métodos numéricos. Los ingenieros en cambio ven los métodos numéricos como medios para conseguir un fin. Los ingenieros quieren números, y los métodos numéricos dan justamente eso, aunque como una aproximación a la solución exacta. Otras imprecisiones, tales como propiedades de materiales, homogeneidad, y condiciones de contorno, también resultan en aproximaciones que son de la misma magnitud. El método de diferencias finitas es una técnica númerica que funciona bien con la ecuación diferencial parcial completa. Esencialmente utiliza una aproximación por puntos. Un modelo está constituido por las llamadas ecuaciones en “diferencias finitas”, y una matriz de puntos formando una rejilla. Se logra mejorar la aproximación con una rejilla mas fina de puntos. Si el modelo es de diseño “rectilíneo”, el método trabaja realmente bien. El método se presta él mismo de forma natural al uso de un ordenador, y el crecimiento del mismo, se atribuye directamente a la invención de la computadora digital. Todo científico-informático ha estado expuesto a esta metodología. La razón de que el método no se adoptó de Forma extensa estriba en su incapacidad para adaptarse a geometrías irregulares o condiciones de contorno complicadas,

1.4. Métodos numéricos : Elementos Finitos

1.INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

1.1 INTRODUCCIÓN
El método de los elementos finitos (MEF) ha adquirido una gran importancia en la solución de problemas ingenieriles, físicos, etc., ya que permite resolver casos que hasta hace poco tiempo eran prácticamente imposibles de resolver por métodos matemáticos tradicionales. Esta circunstancia obligaba a realizar prototipos, ensayarlos e ir realizando mejoras deforma iterativa, lo que traía consigo un elevado coste tanto económico como en tiempo de desarrollo. El MEF permite realizar un modelo matemático de cálculo del sistema real, más fácil y económico de modificar que un prototipo. Sin embargo no deja de ser un método aproximado de cálculo debido a las hipótesis básicas del método. Los prototipos, por lo tanto, siguen siendo necesarios, pero en menor número, ya que el primero puede acercarse bastante más al diseño óptimo. Discretización con elementos finitos El método de los elementos finitos como formulación matemática es relativamente nuevo ; aunque su estructura básica es conocida desde hace bastante tiempo, en los últimos años ha sufrido un gran desarrollo debido a los avances informáticos. Han sido precisamente estos avances informáticos los que han puesto a disposición de los usuarios gran cantidad de programas que permiten realizar cálculos con elementos finitos. Pero no hay que llevarse a engaño, el manejo correcto de este tipo de programas exige un profundo conocimiento no solo del material con el que se trabaja, sino también de los principios del MEF. Sólo en este caso estaremos en condiciones de garantizar que los resultados obtenidos en los análisis se ajustan a la realidad.

1.2 BREVE HISTORIA DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Aunque el nombre del MEF se ha establecido recientemente, el concepto se ha usado desde hace varios siglos. El empleo de métodos de discretizado espacial y temporal y la aproximación numérica para encontrar soluciones a problemas ingenieriles o físicos es conocido desde antiguo. El concepto de ‘ elementos finitos’ parte de esa idea. Para encontrar vestigios de este tipo de cálculos podríamos remontarnos a la época de la construcción las pirámides egipcias. Los egipcios empleaban métodos de discretizado para determinar el volumen de las pirámides. Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo método para calcular el volumen de todo tipo de sólidos o la superficie de áreas. En oriente también aparecen métodos de aproximación para realizar cálculos. Así el matemático chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para calcular longitudes de circunferencias con lo que conseguía una aproximación al número Pi de 3.1416. El desarrollo de los elementos finitos tal y como se conocen hoy en día ha estado ligado al cálculo estructural fundamentalmente en el campo aeroespacial. En los años 40 Courant 1 propone la utilización de funciones polinómicas para la formulación de problemas elásticos en subregiones triangulares, como un método especial del método variacional de Rayleigh-Ritz para aproximar soluciones. Fueron Turner, Clough, Martin y Topp 2 quienes presentaron el MEF en la forma aceptada hoy en día. En su trabajo introdujeron la aplicación de elementos finitos simples (barras y placas triangulares con cargas en su plano) al análisis de estructuras aeronáuticas, utilizando los conceptos de discretizado y funciones de forma. El trabajo de revisión de Oden 3 presenta algunas de las contribuciones matemáticas importantes al MEF. Los libros de Przemieniecki 4 y de Zienkiewicz y Holister 5 presentan el MEF en su aplicación al análisis estructural. El libro de Zienkiewicz y Cheung 6 o Zienkiewicz y Taylor 7 presenta una interpretación amplia del MEF y su aplicación a cualquier problema de campos. En él se demuestra que las ecuaciones de los EF pueden obtenerse utilizando un método de aproximación de pesos residuales, tal como el método de Galerkin o el de mínimos cuadrados. Esta visión del problema difundió un gran interés entre los matemáticos para la solución de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales mediante el MEF, que ha producido una gran cantidad de publicaciones hasta tal punto que hoy en día el MEF está considerado como una de las herramientas más potentes y probadas para la solución de problemas de ingeniería y ciencia aplicada. Actualmente el método se encuentra en una fase de gran expansión: es ampliamente utilizado en la industria y continúan apareciendo cientos de trabajos de investigación en este campo. Los ordenadores han aportado el medio eficaz de resolver la multitud de ecuaciones que se plantean en el MEF, cuyo desarrollo práctico ha ido caminando parejo de las innovaciones obtenidas en el campo de la arquitectura de los ordenadores. Entre éstas, además de permitir la descentralización de los programas de EF, ha contribuido a favorecer su uso a través de sofisticados paquetes gráficos que facilitan el modelado y la síntesis de resultados. Hoy en día ya se concibe la conexión inteligente entre las técnicas de análisis estructural, las técnicas de diseño (CAD), y las técnicas de fabricación.

1.3 CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO
La idea general del método de los elementos finitos es la división de un continuo en unconjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos. Las ecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regirán también el del elemento. De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo (infinitos grados de libertad), que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema con un número de grados de libertad finito cuyo comportamiento se modela por un sistema de ecuaciones, lineales o no.

En cualquier sistema a analizar podemos distinguir entre:
· Dominio. Espacio geométrico donde se va ha analizar el sistema.
· Condiciones de contorno. Variables conocidas y que condicionan el cambio del sistema: cargas, desplazamientos, temperaturas, voltaje, focos de calor,…
· Incógnitas. Variables del sistema que deseamos conocer después de que las condiciones de contorno han actuados sobre el sistema: desplazamientos, tensiones, temperaturas.
El método de los elementos finitos supone, para solucionar el problema, el dominio discretizado en subdominios denominados elementos. El dominio se divide mediante puntos (en el caso lineal), mediante líneas (en el caso bidimensional) o superficies ( en el tridimensional) imaginarias, de forma que el dominio total en estudio se aproxime mediante el conjunto de porciones (elementos) en que se subdivide.

1.4 ANTES DE REALIZAR UN CÁLCULO POR EL MEF
Antes de comenzar a resolver un problema mediante cualquier programa de Elementos Finitos conviene reflexionar sobre una serie de puntos.

¿Qué se pretende con el análisis?
Determinar tensiones, obtener distribuciones de temperatura, ver cómo evoluciona el sistema, calcular frecuencias y modos propios, … Esta pregunta nos determinará el tipo de análisis ha realizar.

¿Cómo va a ser la geometría que vamos a analizar?
Seguramente conocemos la geometría real del problema, pero a la hora de realizar su análisis deberemos simplificarla al máximo en función del objetivo del análisis, ya que la mayoría de los detalles son superfluos y lo único que conllevan es un consumo excesivo de tiempo de cálculo y de espacio de almacenamiento. Para ello deberemos buscar posibles simetrías, antisimetrías, axisimetrías del problema, problemas de tensión o deformación planas, eliminación de detalles superfluos: radios de acuerdo, entallas,… Una vez estudiada la geometría podremos decidir el o los tipos de elementos a utilizar, las características de los mismos, así como las propiedades de el o los materiales (módulo de elasticidad, conductividad) a emplear.